​直观理解多元函数中的可微与可导

直观理解多元函数中的可微与可导

多元函数中的可微，是指全微分存在；可导是指偏导数存在。

全微分可以表示为：与切平面方程对比：可以清晰地看到，假设A点（x0,y0）与B点（x,y）向上作两条垂线与切平面相交M，N两点，其高度分部是z0和z,再将 z-z0看作是dz,那么全微分就是M,N两点之间的高度差，也就是说，全微分就代表切平面上两点的高度差，如下图：由以上分析，那么微分存在的前提就是切平面存在，而切平面存在就要求曲面上这一点每个方向的偏导数存在，如下图所示：图1如上图，结合二元函数的几何意义，切平面存在，必须要曲面上通过该点任何方向的曲线都具有切线，且这些切线都在同一个平面（切平面）上。

也就是曲面上这一点的偏导数连续，也就是只有当偏导数连续的时候才能保证微分存在。

但是反过来，微分存在是不是一定要求偏导数连续呢？由上式看到，只要x,y轴两个方向的偏导数在某一点存在的时候，微分就存在，所以由微分存在无法保证其它方向的偏导数存在，也就是无法保证偏导数连续，如下图。

只要曲面上的某点x，y两个方向的偏导数存在就是可导。

偏导数的几何意义：上图表示，在球面和柱面的交界处，偏导数肯定不连续。

简单说，就是：1：当偏导数连续的时候，表示切平面存在，从而函数可微。

2：但反过来，可微不一定能推出偏导数连续。